Platonische Körper - Volumenverhältnisse: Anschauliche Beweise

[Thermo]

Im Chat hatten wir das Verhältnis von Tetra- zu Oktaeder. Der Beweis ist sehr einfach, man nimmt einfach ein Tetraeder mit der Kantenlänge 2 a, schneide jeweils von jeder Ecke ein Tetraeder mit der Kantenlänge a ab - es entsteht ein oktaeder mit der Kantenlänge a. Wenn ein Tetraeder mit der Kantenlänge a ein Volumen von 1 hat, so hat das mit seitenlänge 2 a ein Volumen von 8. Daraus folgt dass das oktaeder ein Volumen von 8 - 4 * 1 = 4 hat.

Gesucht ist nun ein ähnlich anschaulicher Beweis, dass ein Würfel mit einer Flächendiagonale von 2 (Kantenlänge Wurzel 2) das sechsfache Volumen eines Oktaeders mit Kantenlänge 1 hat.

Der Beweis ist etwas komplizierter als der oben genannte.

Viel Spaß beim knobeln.

[TheLightPrince]

Oh heute erst das Thema sehen.

Ist ja Lustig.
Ich werfe mal folgendes in den Raum (keine Ahnung ob es auch schöner geht):
Würfel und Oktaeder sind dankenswerterweise duale Körper, wodurch sich durch verbinden der Mittelpunkte benachbarter Flächen, der jeweils andere Körper ergibt.
Für einen Würfel mit Kantenlänge a = W(2), ergibt sich die Entfernung zwischen zwei benachbarten Mittelpunkten zu d = 1. Auf Grund der Dualität ist somit d die Seitenlänge des resultierenden Oktaeders.
Damit landen wir (oh Zufall ^^) genau bei den gegebenen Daten (s. Aufgabenstellung).
Problem: Mir fehlt gerade die 3D Vorstellungskraft um zu ermitteln was genau "ausgeschnitten" ist. Es sind 8 Tetraeder + ???. Und die ??? bekomm ich gerade nicht hin.

Anderer Ansatz: Von Tetraeder -> Oktaeder haben wir bereits besprochen. Würfel -> Tetraeder geht recht gut. Ein Tetraeder passt exakt in einen Würfel, wenn man die Diagonalen des Würfels verbindet. Das heißt dem Tetraeder fehlen 4 Pyramiden mit Seitenlänge der Grundfläche von 2 (Würfeldiagonale) und Höhe von ???. Auch da komme ich gerade nicht ohne weiteres nachdenken drauf.

Lg TLP

[Thermo]

Die richtigen Kantenlängen hast du schon, aber um es Anschaulich zu machen brauchst du einen zwischenschritt. Wie du ja selbst siehst ist da ein ???, das solltest du versuchen herauszufinden. Ggf hilft es da einmal den umgekehrten weg zu gehen.

Dann musst du die "abgeschnittenen" teile nur noch geschickt zusammensetzen.

Den zweiten Ansatz habe ich nicht verfolgt, da die abgeschnittene Teile die dabei Rauskommen doch recht schwer für einen anschaulichen Beweis verwendbar scheinen.